Desigualdad, teoremas e intervalos

Desigualdad

Una desigualdad matemática es una expresión matemática en la que ambos miembros no son equivalentes entre sí (lo contrario a lo que ocurre en una igualdad).
En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "es mayor que" o "es menor que". El primero es > y el segundo <. También existen otros derivados de estos dos. Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente.

Un ejemplo de una desigualdad es: 2x + 7 <>

Algunos problemas matemáticos se plantean como desigualdades en lugar de ecuaciones. Las desigualdades se resuelven de manera similar a una ecuación. Para resolver una desigualdad debemos determinar los valores que satisfacen a la desigualdad.

Teoremas

Definiciones:

Ley de la tricotomía:
"Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones:

Teorema1-Propiedad transitiva:

Teorema2-Suma:

Teorema3-Multiplicación por un número positivo:

Teorema4:

Intervalos

Definición de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

• Intervalo abierto
  Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.
  (a, b) = {x / a <>

• Intervalo cerrado
  Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.
  [a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

• Intervalo semiabierto por la izquierda
  Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.
  (a, b] = {x / a <>

• Intervalo semiabierto por la derecha
  Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.
  [a, b) = {x / a ≤ x <>

Repaso0o

Propiedad a la que corresponden las expresiones

1. (-2)+(2) = 0....................................... inverso
2. 3 (√5 + 1) = (√5 + 1) 3..................... conmutativa
3. √13 + 0 = √13.................................... identidad
4. Si x = √3 entonces √3 = x............. simetrica
5. √z = √z................................................ reflexiva
6. (x+2y) + z = z + (x+2y).................... conmutativa

Expresar los numeros como racional, entero o decimal, de ser posible

1. 0.444................. x = 4/9
   
2. 0.505050......... x = 50/99
   
3. 5.818181........... x = 64/11
   
4. 3.023023.......... x = 3020/999
   
5. 1/8..................... 0.125 decimal
   
6. 15/23................. 0.652173913 irracional
   
7. √2....................... 1.414213562 irracional
   
8. π = 3.1416......... irracional

Historia de los números reales

El concepto de número positivo, fue adquirido muy lentamente. Para muchas razas los números mayores que tres no tenían nombre; en otras todo lo que superaba al tres se conocía por "muchos".
Percibían los números como una propiedad inseparable de una colección de objetos, sin distinguirla de forma clara, es decir no se distinguen los números como algo abstracto. Paso bastante tiempo y comparar muchas veces colecciones con el mismo número de objetos, para poner en correspondencia biunívoca los elementos de ellas, hasta llegar al concepto "abstracto de número".
Las operaciones entre números aparecieron como reflejo de las relaciones entre objetos concretos, conforme la sociedad iba evolucionando, el hombre se vio ante la necesidad de perfeccionar los nombres y símbolos de los números y posteriormente la introducción de signos y designación literal de las incógnitas.
Los babilonios tenían un sistema de escritura de los números que era parcialmente decimal y parcialmente sexagesimal. En sus últimas escrituras cuneiformes ya apareció el cero, aunque fueron los indios los que verdaderamente lo introdujeron, al que llamaron "vacío", y les permitió elaborar un sistema de escritura análogo al de hoy en día.
Los antiguos griegos y posteriormente los rusos, hicieron uso de letras para designar números siendo, no obstante, los árabes los que trajeron a Europa de la India nuestros símbolos actuales y el método de formación de números.

Los griegos, establecieron los cimientos para la teoría de números y descubrieron las magnitudes irracionales. Euclides estableció ya la existencia de un número infinito de números primos y Erastótenes creó un método para obtenerlos. Conocían propiedades sobre las progresiones aritméticas y geométricas y extraían raíces cuadradas y cúbicas. No conocían los números negativos.
Fueron los chinos los que por primera vez usaron los coeficientes negativos en los sistemas de ecuaciones de primer grado, dando un método para la búsqueda de las soluciones positivas de un sistema de tres ecuaciones de primer grado.

Los indios introdujeron los números negativos y operaron con magnitudes irracionales, sin representaras geométricamente.
Los matemáticos del Asia central calcularon las raíces de las ecuaciones y, conocían, expresada en palabras, la fórmula del binomio de Newton. Inventaron las fracciones decimales. Los chinos conocían el medio para resolver ecuaciones indeterminadas muy sencillas y las de tercer grado.

Los matemáticos G. Cantor, R. Dedekind, K. Weiertrass y B. Bolzano fueron los que culminaron la obra, que duro medio siglo de investigaciones, sobre los números naturales, enteros, racionales e irracionales, que considerados juntos, constituyeron lo que se denominó el sistema de los números reales.



Clasificación de los números reales

Los números reales (R) están compuestos por los números racionales (Q) y los números irracionales (Q').
Estos números llamados racionales se van a dividir en números enteros (Z), en los que vamos a encontrar a los naturales (N), el cero y negativos (M); y números no enteros fraccionarios (W).
Mientras que los números irracionales cuentan con los números positivos y los números negativos.



Propiedades de los números reales

• Conmutativa de adición: x+y = y+x
  conmutativa de multiplicación: x·y = y·x
  
• Asociativa de adición: (x+y)+z = x+(y+z)
  Asociativa de multiplicación: (xy) z = x ( yz)
  
• Distributiva de adición: x+(y+z) = xy + xz
  
• Identidad aditiva: x+0 = 0+x = x
  Identidad multiplicativa: x·1 = 1·x = x
  
• Inverso de adición: x+(-x) = 0
  Inverso de multiplicación: x · 1/x = 1
  
• Neutro multiplicativo: z·0 = 0
  0/z = 0, z diferente de 0
  
• Cerradura de adición: Si x,y pertenecen a R, x+y pertenece a R
  Cerradura de multiplicación: Si x,y pertenecen a R, xy pertenece a R